Palindromos

Si yo le dijera que usted sabe lo que es un palíndromo, usted me diría: “¿un qué?”, y yo volvería a decir, “un palíndromo” o, si prefiere, un “número palindrómico”. Nada. Su cara lo dice todo. Y eso que no estoy allí para verlo. Lo puedo ayudar así. Recorra esta lista de números con cuidado, buscando un patrón:

121,
1234321,
648846,
52925,
09490,
8199918

¿Hace falta que ponga más? Creo que no. Usted ya advirtió que éstos son los números que llamamos, también, capicúas. En lenguaje común, el de todos los días, los palíndromos son los capicúas.
Según el Diccionario de la Real Academia Española, capicúa quiere decir número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Este vocablo viene de una expresión catalana (como me explicó Alberto Kornblit) cap i cua , que significa cabeza y cola.
Por otro lado, palíndromo viene del griego palindromos, palabra formada de palin (de nuevo) y dromos (pista de carrera). Es decir, carrera en círculo.
Ahora bien. Acá van algunas curiosidades respecto de los capicúas o palíndromos. Algunas cosas se saben y son fáciles de comprobar. Otras, no sólo no se saben sino que, si usted tiene ganas de intentar, llegar a su solución permitiría cerrar algunos problemas que hace mucho están abiertos dentro de la matemática.
Acá van.
Si uno empieza con los dígitos, desde el cero en adelante:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

son todos capicúas, porque da lo mismo leerlos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Conclusión: hay diez capicúas de un solo dígito.
Siguiendo, ¿cuántos capicúas hay de dos dígitos? La respuesta es: nueve. Más allá de que yo ponga los números, creo que usted puede intentar solo/a.

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99.

Si ahora pasamos a números de tres dígitos, se nota que no será muy práctico tener que hacer una lista de todos los que hay. Podríamos empezar con:

101, 111, 121, 131, 141, ...

Por el medio estarán

... 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494, 505, 515, 525...

y para terminar,

... 959, 969, 979, 989 y 999.

Si los cuenta (y lo invito a que lo haga), resultan noventa. Como se empieza a ver, tendríamos que buscar una forma de contarlos que no involucre tener que hacer una lista de todos. ¿Se anima? Digo, si se anima a contarlos sin escribirlos todos.
Tomemos un número de tres dígitos. Obviamente, no puede empezar con el número cero, porque no tendría tres dígitos. Luego, el primero de los números no puede ser cero. ¿Cuántas posibilidades hay? Respuesta: nueve. Un número capicúa de tres dígitos puede empezar con cualquier número, salvo cero. Luego hay nueve posibilidades.
¿Cuántas posibilidades hay para el segundo dígito? Aquí, ahora, no hay restricciones. El segundo puede ser cualquiera de los diez dígitos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es decir (cuéntelos por favor), hay diez que pueden ir en el medio.
Dos preguntas importantes acá:
a) ¿Entiende usted que como puede empezar con nueve dígitos y el segundo número tiene diez posibilidades, entonces hay 90 posibles comienzos? Es muy importante que usted pueda entender esto que acabo de escribir. No hay problemas si no lo comprende, pero no tiene sentido avanzar sin volver a pensarlo. Lo digo de otra forma. ¿Cuáles son los posibles dos primeros dígitos de este número “capicúa” que al final va a tener tres dígitos? Los números con los que puede empezar son:

10, 11, 12, 13, 14... 97, 98 y 99.

Es decir, empezando con uno hay diez, empezando con dos hay otros diez, empezando con tres hay diez... hasta que empezando con nueve hay diez también. En total, entonces, hay noventa formas de empezar.
b) Otra pregunta: si, al final, el número que estamos buscando tiene tres dígitos pero tiene que ser un palíndromo, una vez conocidos los primeros dos ¿no queda determinado el tercero? Es decir, conocer los dos primeros obliga al tercero a ser algo que ya sabemos. El tercero tiene que ser igual al primero. Y ése es un dato importante.
Luego, los noventa que habíamos contado, son todos los que hay. ¡Y no necesitamos escribirlos a todos! Alcanzó con pensarlos.
Con esta idea, uno puede ahora preguntarse: ¿cuántos palíndromos de cuatro dígitos? ¿Tendré que hacer yo todas las cuentas? ¿O lo puede hacer usted solo/a? De hecho, si uno piensa un poco, se da cuenta que como ahora uno tiene un número de cuatro dígitos pero palindrómico, entonces los dos primeros determinan a los dos últimos.
¿Entiende por qué? Piense usted solo/a por un instante. Como el número tiene que ser capicúa, y de cuatro cifras, lo que pongamos en los dos primeros lugares determina completamente los dos que faltan.
Es más, si el número empieza con “ab”, entonces los dos que siguen tienen que ser “ba”. El número final va a ser entonces: “abba”. Y como recién vimos que para los dos primeros lugares hay noventa posibilidades, ahora, con números de cuatro dígitos, no cambia nada.
Acabamos de descubrir que hay también noventa capicúas de cuatro dígitos. Los dejo para que comprueben ustedes estos datos:

a) hay 199 palíndromos menores que 10,000
b) hay 1,099 capicúas menores que 100,000
c) hay 1,999 capicúas menores que un millón
d) hay 10,999 palíndromos menores que diez millones.

Y si tiene ganas, siga usted con el resto. La idea es la misma.
Hasta acá, todo es material atractivo, pero conocido. Ahora, algo que no se sabe. Se conjetura –pero no se ha demostrado todavía– que hay infinitos números primos que sean capicúas. Lo que sí se sabe es que, salvo el número 11 (que es un palíndromo y primo a la vez), para que un capicúa sea primo, debe tener un número impar de dígitos. Esto se demuestra comprobando que cualquier número capicúa con un número par de dígitos es siempre múltiplo de once. Le sugiero que haga usted la cuenta para convencerse.

Algo divertido
(y desconocido al mismo tiempo)
En el afán de buscar palíndromos, uno puede hacer lo siguiente (y lo invito a que lo compruebe usted mismo/a). Tome un número cualquiera de dos dígitos o más. Digamos

9253

Escríbalo al revés ahora, es decir, como si lo estuviera mirando en un espejo. Esto da

3529

Sume los dos números:
(9253 + 3529) = 12.782.
Hagamos lo mismo ahora (es decir, démoslos vuelta y sumémoslos).
Hay que sumar entonces:
(12.782 + 28.721) = 41.503.
Y una vez más lo mismo:
(41.503 + 30.514) = 72.017.
Un paso más: (72017 + 71027) = 143.044.
Hasta que por último:
(143.044 + 440.341) = 583.385
¡que es capicúa!

Intente usted empezando con un número cualquiera y vea qué pasa.
Lo que descubrirá es que, en un número finito de pasos, si sigue con el procedimiento que yo hice más arriba, lo más probable es que usted haya llegado a un palíndromo. La pregunta natural es la siguiente: ¿es verdad que siempre sucede? Lamentablemente, la respuesta es que no.
A pesar de lo que le debe haber pasado a usted (intuyo que llegó al “palíndromo” con todos), permítame sugerirle algunos números para empezar (y hágalo, se va a divertir): 196, 887, 1675, 7436, 13.783, 52.514... y éstos son sólo algunos. En realidad, entre los primeros cien mil números, empezando con ¡5996!, no se llegó a palíndromos. Sin embargo, no hay una demostración de que empezando con esos números no se llegue. Se conjetura que no se va a llegar, pero no hay una demostración de ese hecho.
Ah, y para terminar, esta nota es sobre “matemática” también.

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Adrián Paenza